我的电磁学讲义9：静电场中的导体

本节主要讨论金属导体存在时的静电学问题。

静电平衡

金属导体内有大量自由电子，自由电子时刻做着无规则热运动。自由电子在电场力作用下运动使电荷在导体上重新分布，这种现象称为导体的静电感应现象。感应电荷产生的电场称为附加电场。如图1所示，当电场中引入导体后，空间的电场分布发生变化：

\begin{equation*}
\vec{E}=\vec{E}_0+\vec{E}’
\end{equation*}

其中，$latex \vec{E}_0$为外电场，$\vec{E}’$为导体上的感应电荷产生的附加电场。

图1 导体内部的电场

当导体内部的电场$\vec{E}=0$时，导体内部没有宏观电荷移动，称导体达到了静电平衡，如图2所示

(a) 在外电场$\vec{E}_0$作用下，电子逆电场方向运动；
(b) 导体表面出现感应电荷，导体内产生附加电场$\vec{E}’$ ；
(c) 当导体内的外电场$\vec{E}_0$与附加电场$\vec{E}’$等值而反向时，电荷运动停止，导体处于静电平衡状态。

当导体处于静电平衡时，可导出如下推论：
1. 导体是个等势体，导体表面是个等势面。
2. 导体表面附近处的场强与表面垂直。

(1) 实心导体内部无电荷

图3 实心导体

可由高斯定理证明，在实心导体内部做个任意的高斯面，$\oint_S\vec{E}\cdot\mathrm d\vec{S}=q_{内}/\varepsilon_0=0$，所以$q_{内}=0$。

(2) 空腔导体（内部无带电体）导体内和空腔内表面均无电荷
对于空心导体，如果空腔内没有带电体，则导体内表面处处无电荷分布，电荷只能分布在外表面，空腔内电势处处相等，没有电场。

图4 空腔导体（内部无带电体）

由高斯定理可以证明空腔内表面没有净电荷，还可以证明：导体空腔的内表面上也不可能有等量异号电荷。若腔内表面有等量异号电荷出现，则空腔内必有电场线存在（见图4），将试探电荷$q_0$沿该电场线由正电荷移到负电荷时，电场力的功不为零，这与静电平衡时导体是等势体的结论不符。

(3) 空腔导体（内部有带电体）

图5 空腔导体（内部有带电体）

由高斯定理，易证电荷分布在导体内、外两个表面，其中内表面的电荷是空腔内带电体的感应电荷, 与腔内带电体的电荷等量异号。

(4) 导体面电荷密度与场强

图6 导体表面做高斯面

在导体表面取很薄的柱状高斯面，如图6所示，则其侧面和导体内底面的电通量为零，则

\begin{equation*}
\oint_S\vec{E}\cdot\mathrm d\vec{S}=E\Delta S = \frac{\sigma \Delta S}{\varepsilon_0}
\end{equation*}

于是可得

\begin{equation*}
E = \frac{\sigma }{\varepsilon_0}
\end{equation*}

可见，$E\propto \frac{1}{\rho}$，导体表面曲率半径小的地方，电场强度大。针尖状导体处电场很强，可使周围的空气电离，同时产生“电风”，称为尖端放电。

(5) 静电屏蔽

图7 对腔外电场的屏蔽

空腔导体(不论是否接地)的内部空间不受腔外电荷和电场的影响；接地的空腔导体, 腔外空间不受腔内电荷和电场的影响。

图8 对腔内电场的屏蔽