高分子刷的解析平均场理论有两种表述方式。一个是MWC理论（Macromolecules 1988, 21, 2610-2619），另外一个就是Zhulina和Birshtein这两位俄罗斯老太太的理论（Macromolecules 1991, 24, 140-149），后者在物理上更直接，我重新整理一下，是为此文。
高分子刷的（平均一根链的）自由能
\[\]
为链的熵弹性\[\]
与排除体积作用能\[\]
之和：\begin{equation}
\Delta F=\Delta F_{el}+\Delta F_{conc}
\label{eq:F}
\end{equation}
排除体积作用能
\begin{equation}
\Delta F_{conc}=\frac{\sigma}{a^3}\int f[\varphi(x)] \mathrm dx
\label{eq:Fconc}
\end{equation}
其中$\sigma$为平均一根链在接枝面上所占据的面积，$\varphi(x)$为高分子体积分数，$f[\varphi(x)]/a^3$为相互自由能密度。
接枝链的熵弹性：
\begin{equation*}
\begin{split}
\Delta F_{el}(x')&=\frac{3}{2a^2}\int_0^N\left (\frac{\mathrm dx}{\mathrm dn}\right )^2\mathrm dn=\frac{3}{2a^2}\int_0^N\frac{\mathrm dx}{\mathrm dn}\frac{\mathrm dx}{\mathrm dn}\mathrm dn\\
&=\frac{3}{2a^2}\int_0^{x'}\frac{\mathrm dx}{\mathrm dn}\mathrm dx
=\frac{3}{2a^2}\int_0^{x'}\frac{\mathrm dx}{\mathrm dn}\mathrm dx\\
&=\frac{3}{2a^2}\int_0^{x'}E(x,x')\mathrm dx
\end{split}
\end{equation*}
其中$x'$为高分子链的末端所在位置，$H$为刷的高度，$E(x,x')=\frac{\mathrm dx}{\mathrm dn}$，并满足：
\begin{equation}\int_0^{x'} \frac{1}{E(x,x')}\mathrm dx=N \label{eq:Econs}\end{equation}
接枝链的末端的分布为$g'(x')$，$g'(x')\mathrm dx'$为$x'$处$A\mathrm dx'$体积范围内接枝链末端的数目，满足
\begin{equation*}A\int_0^H g'(x')\mathrm dx'=n_P\end{equation*}
其中$A$为接枝表面的总面积，$n_P$为接枝链的总数目。
平均一条链的熵弹性能为：
\begin{equation}
\begin{split}
\Delta F_{el}&=\frac{A}{n_P}\int_0^H \Delta F_{el}(x')g'(x')\mathrm dx'\\
&=\frac{3}{2a^2}\int_0^H g(x')\mathrm dx'\int_0^{x'}E(x,x')\mathrm dx
\end{split}\label{eq:Fel}\end{equation}
其中，$g(x')=\frac{A}{n_P}g'(x')$，为$x'$处$\mathrm dx'$厚度范围内接枝链末端的数目，满足$\int_0^H g(x')\mathrm dx'=1$。
高分子体积分数$\varphi(x)$满足：
\begin{equation}
\begin{split}
\varphi(x)&=\frac{a^3}{\sigma}\int_0^H\frac{\mathrm dn}{\mathrm dx} g(x')\mathrm dx'\\
&=\frac{a^3}{\sigma}\int_0^H\frac{g(x')}{E(x,x')} \mathrm dx'
\end{split}\label{eq:varphi}\end{equation}
\begin{equation}\sigma\int_0^{H} \varphi(x)\mathrm dx=Na^3\label{eq:varphicons}\end{equation}
要得到刷的结构，需要对如下泛函求变分：
\begin{equation}F'=\Delta F+\lambda_1 \int_0^{H} \varphi(x)\mathrm dx +\int_0^H \lambda_2(x')\mathrm dx'\int_0^{x'} \frac{1}{E(x,x')}\mathrm dx\label{eq:Fp}\end{equation}
其中$\lambda_1$和$\lambda_2(x')$分别为拉格朗日乘子。
对$F'$变分有：
\begin{equation}
\begin{split}
\delta F'=&\delta \Delta F_{el}+\delta \Delta F_{conc} + \lambda_1 \int_0^{H}\delta \varphi(x)\mathrm dx\\
&-\int_0^H \lambda_2(x')\mathrm dx'\int_0^{x'} \frac{\delta E(x,x')}{E^2(x,x')}\mathrm dx\\
=& \frac{3}{2a^2}\int_0^H \mathrm dx'\int_0^{x'}\left [g(x')\delta E(x,x') + E(x,x') \delta g(x')\right ]\mathrm dx \\
&+\frac{\sigma}{a^3}\int \frac{\delta f[\varphi(x)]}{\delta \varphi(x)} \delta \varphi(x) \mathrm dx + \lambda_1 \int_0^{H}\delta \varphi(x)\mathrm dx\\
&-\int_0^H \lambda_2(x')\mathrm dx'\int_0^{x'} \frac{\delta E(x,x')}{E^2(x,x')}\mathrm dx
\end{split}\label{eq:var}
\end{equation}
根据方程\eqref{eq:varphi}，有：
\begin{equation}
\delta \varphi(x)=\frac{a^3}{\sigma}\int_0^H\left [\frac{\delta g(x')}{E(x,x')}-\frac{g(x')}{E^2(x,x')}\delta E(x,x') \right ] \mathrm dx'
\label{eq:varvarphi}
\end{equation}
将方程\eqref{eq:varvarphi}带入方程\eqref{eq:var}，得
\begin{equation}
\begin{split}
\delta F'= &\int_0^H \mathrm dx' \int_0^{x'} \mathrm dx \delta E(x,x')\\
&\left [\frac{3g(x')}{2a^2}-\frac{\lambda_2(x')}{E^2(x,x')}-\left (\lambda_1+\frac{\delta f[\varphi(x)]}{\delta \varphi(x)}\right )\frac{g(x')}{E^2(x,x')} \right ]\\
& \int_0^H \delta g(x') \mathrm dx' \int_0^{x'} \mathrm dx \\
&\left [\frac{3E(x,x')}{2a^2}+\frac{1}{E(x,x')}\left (\lambda_1+\frac{\delta f[\varphi(x)]}{\delta \varphi(x)}\right ) \right ]
\end{split}\label{eq:varesult}
\end{equation}
相应地我们可得如下两个变分方程：
\begin{equation}
\frac{3g(x')}{2a^2}-\frac{\lambda_2(x')}{E^2(x,x')}-\left (\lambda_1+\frac{\delta f[\varphi(x)]}{\delta \varphi(x)}\right )\frac{g(x')}{E^2(x,x')} =0
\label{eq:var1}
\end{equation}
\begin{equation}
\frac{3E(x,x')}{2a^2}+\frac{1}{E(x,x')}\left (\lambda_1+\frac{\delta f[\varphi(x)]}{\delta \varphi(x)}\right )=0
\label{eq:var2}
\end{equation}
由方程\eqref{eq:var1}，
\begin{equation}
E^2(x,x')=U_1(x')-U_2(x)
\label{eq:EU12}
\end{equation}
其中，
\begin{equation} U_1(x')=\frac{2a^2\lambda_2(x')}{3g(x')} \label{eq:U1} \end{equation}
\begin{equation} U_2(x)=-\frac{2a^2}{3}\left ( \lambda_1+\frac{\delta f[\varphi(x)]}{\delta \varphi(x)}\right ) \label{eq:U2} \end{equation}
链的末端不受拉伸，则$E(x,x)=0$，于是 $U_1=U_2$，我们有
\begin{equation}
E(x,x')=\sqrt{U(x')-U(x)}
\label{eq:EU}
\end{equation}
$U(x)$仍是未知函数，将方程\eqref{eq:EU}代入方程\eqref{eq:Econs}，得
\begin{equation} U(x)=\frac{\pi^2 x^2}{4N^2}
\label{eq:Ux}
\end{equation}
将方程\eqref{eq:Ux}代入方程\eqref{eq:EU}得
\begin{equation} E(x,x')=\frac{\pi }{2N}\sqrt{x'^2-x^2}\label{eq:Ex}
\end{equation}
将方程\eqref{eq:Ux}代入方程\eqref{eq:U2}得
\begin{equation}\lambda_1+\frac{\delta f[\varphi(x)]}{\delta \varphi(x)}=-\frac{3\pi^2x^2}{8N^2}\label{eq:varphix}
\end{equation}
将方程\eqref{eq:Ux}代入方程\eqref{eq:varphicons}，得如下积分方程：
\begin{equation}
\varphi(x)=\frac{2Na^3}{\pi\sigma}\int_0^{x'}\frac{g(x')}{\sqrt{x'^2-x^2}}\mathrm dx
\label{eq:inteq}\end{equation}
从方程\eqref{eq:varphix}到高分子体积分数$\varphi(x)$，解积分方程\eqref{eq:inteq}就可得高分子链末端的分布。积分方程的解可从积分方程手册中查到，在pp21。