任意形状带电体
点电荷是一种理想模型,只有当场点到带电体距离比带电体本身的线度大得多的时候,源电荷才可以看做点电荷。当考察带电体附近的电场的时候,带电体就不能看做点电荷,必须考虑带电体的大小和形状,以及电荷在带电体上的分布。对于任意形状的带电体,可以把带电体分割成很多很小的电荷元 \[\mathrm dq\],每一个电荷元可以看做一个点电荷,则每个电荷元独自产生的电场为
\begin{equation*}
\mathrm d\vec{E}=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{\mathrm dq}{r^2}\hat{r}
\end{equation*}
式中 $r$ 为 电荷元 $\mathrm dq$ 到场点的距离,$\hat{r}$ 为电荷元指向场点的单位矢量。
图为电荷元在 $P$ 点产生的电场
根据叠加原理,整个带电体在场点产生的电场为:
\begin{equation*}
\vec{E}=\int \mathrm d\vec{E}=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \int \frac{\mathrm dq}{r^2}\hat{r}
\end{equation*}
在上面的讨论中,已经认为电荷在带电体上是连续分布的,但是我们前面讲过,电量是量子化的,是不连续的,这不矛盾吗?宏观带电体的电量包含着极大量的基元电荷,因此在宏观范围内,可以认为电荷是连续的“粘”在带电体上,不需要考虑电荷的不连续性。
根据不同的情况,有时可以把电荷看成在一定体积内连续分布(体分布),有时可以把电荷看成在一定平面内连续分布(面分布),有时可以把电荷看成在一定曲线上连续分布(线分布),等等,与此相应,可以引入电荷的体密度、面密度、线密度。
电荷体密度就是单位体积内的电量,取一体积元 $\Delta V$,此体积元内的电量为 $\Delta q$,则电荷体密度为:
\begin{equation*}
\rho=\lim_{\Delta V\rightarrow 0} \frac{\Delta q}{\Delta V}=\frac{\mathrm dq}{\mathrm dV}
\end{equation*}
这里$\Delta V\rightarrow 0$ 与 数学上的 $\Delta V$ 趋于0的意义是不同的。在物理上,$\Delta V\rightarrow 0$ 表示宏观上足够小,而在微观上又足够大,包含有大量的基元电荷。
电荷面密度为:
\begin{equation*}
\sigma=\lim_{\Delta S\rightarrow 0} \frac{\Delta q}{\Delta S}=\frac{\mathrm dq}{\mathrm dS}
\end{equation*}
电荷线密度为:
\begin{equation*}
\eta=\lim_{\Delta l\rightarrow 0} \frac{\Delta q}{\Delta l} = \frac{\mathrm dq}{\mathrm dl}
\end{equation*}
同样地,这里 $\Delta S\rightarrow 0$ 和 $\Delta l\rightarrow 0$ 也表示宏观上足够小,而在微观上又足够大。
例题
例1 求均匀带电细棒中垂面上的场强分布,设棒长为$2l$,电量为 $q$。
选细棒中点 $O$ 为坐标原点,沿细棒向上为 $z$ 轴。选细棒中垂面上一点 $P$,到细棒距离为 $r$,由对称性可知,$P$ 点场强沿垂直细棒的方向。
图为求均匀带电细棒中垂面上的场强分布
$z$ 处电荷元在 $P$ 点处场强沿 $\overline{OP}$方向的分量为
\begin{equation*}
\mathrm dE_{\perp}=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{\mathrm dq}{r^2}\cos\alpha=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{ \eta \mathrm dz}{r^2+z^2}\frac{r}{\sqrt{r^2+z^2}}
\end{equation*}
$P$点处场强为:
\begin{equation*}
\begin{split}
E=&\int \mathrm dE_{\perp}=\frac{\eta}{4\pi\varepsilon_0}\int_{-l}^l \frac{r}{(r^2+z^2)^{3/2}}\mathrm dz=\frac{\eta l}{2\pi\varepsilon_0 r \sqrt{r^2+l^2}}\\
=&\frac{q}{4\pi\varepsilon_0 r \sqrt{r^2+l^2}}
\end{split}
\end{equation*}
讨论:
1. 当场点距离细棒非常远的时候,$r\gg l$,此时,$E=\frac{q}{4\pi\varepsilon_0 r^2}$,细棒可以看做点电荷。
2. 当场点距离细棒非常近的时候,$r\ll l$,此时,$E=\frac{\eta}{2\pi\varepsilon_0 r}$。
例2 求均匀带电圆环轴线上的电场,圆环半径为 $R$,电量 $q$。
图为均匀带电圆环轴线上一点的场强
电荷元 $\mathrm dq$ 在 $P$ 点的场强:
\begin{equation*}
\mathrm d\vec{E}=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{\mathrm dq}{r^2}\hat{r}
\end{equation*}
根据对称性,均匀带电圆环在 $P$ 点的合场强沿 $x$ 轴方向,如下图:
对称的电荷元在P点的场强,垂直对称轴的分量抵消,只留下平行对称轴的分量。
均匀带电圆环在 $P$ 点产生的电场为:
\begin{equation*}
\begin{split}
\vec{E}=&\hat{i}\int \mathrm d E \cos \theta =\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\int \frac{\mathrm dq}{x^2+R^2}\frac{x}{\sqrt{x^2+R^2}}\hat{i}\\
=&\frac{\hat{i}}{4\pi\varepsilon_0}\frac{x}{(x^2+R^2)^{3/2}}\int \mathrm dq = \frac{\hat{i}}{4\pi\varepsilon_0}\frac{qx}{(x^2+R^2)^{3/2}}
\end{split}
\end{equation*}
讨论:
1. 当 $x=0$时,$E=0$,根据对称性能猜到的结果。
2. 当场点距离圆环非常远的时候,$x\gg R$,$E=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{q}{x^2}$,这正是点电荷的电场。
例3 均匀带电薄圆盘轴线上的电场强度
半径为 $R$,电量为 $q$,电荷面密度为 $\sigma=\frac{q}{\pi R^2}$。把带电圆盘分割成一系列宽为 $\mathrm dr$ 的带电圆环,把每个带电圆环看做电荷元,电荷元电量 $\mathrm dq=\sigma 2\pi r \mathrm dr$,电荷元在 $P$ 点产生的电场为
\begin{equation*}
\mathrm d\vec{E}= \frac{\hat{i}}{4\pi\varepsilon_0}\frac{\mathrm dqx}{(x^2+R^2)^{3/2}}
\end{equation*}
将带电薄圆盘分割成一系列圆环
带电薄圆盘在 $P$ 点处的电场强度为:
\begin{equation*}
\begin{split}
\vec{E}=&\int \mathrm d\vec{E}= \frac{\hat{i}}{4\pi\varepsilon_0}\int \frac{x}{(x^2+r^2)^{3/2}}\mathrm dq\\
=&\hat{i} \frac{\sigma x }{2\varepsilon_0} \int_0^{R} \frac{r}{(x^2+r^2)^{3/2}}\mathrm dr\\
=&\frac{\sigma x }{2\varepsilon_0} \left (\frac{1}{\sqrt{x^2}}-\frac{1}{\sqrt{x^2+R^2}} \right )\hat{i}
\end{split}
\end{equation*}
讨论:
1. 当场点非常靠近圆盘时,$x\ll R$,$E=\frac{\sigma }{2\varepsilon_0}$,这是无限大均匀带电平面附近的电场分布。
2. 当场点距离圆盘非常远时,$x\gg R$,电场可化为:
\begin{equation*}
E= \frac{\sigma }{2\varepsilon_0} \left [1-\left(1+\frac{R^2}{x^2}\right)^{-1/2} \right ]
\end{equation*}
$x\gg R$ 时,
\begin{equation*}
\left(1+\frac{R^2}{x^2}\right)^{-1/2} \approx 1-\frac{1}{2}\frac{R^2}{x^2}
\end{equation*}
于是有
\begin{equation*}
E= \frac{\sigma }{4\varepsilon_0}\frac{R^2}{x^2}=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{q}{x^2}
\end{equation*}
正是点电荷的电场分布。
例题3另一种解法。
用极坐标处理带电圆盘,取面积元 $\mathrm dS=r\mathrm dr\mathrm d\theta$,则电荷元 $\mathrm dq=\sigma \mathrm dS=\sigma r\mathrm dr\mathrm d\theta$,由于对称性,可以只考虑电荷元在 $P$ 点处的场强 $x$ 分量,
\begin{equation*}
\mathrm dE_x= \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{x\mathrm dq}{(x^2+r^2)^{3/2}}=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{x\sigma r\mathrm dr\mathrm d\theta}{(x^2+r^2)^{3/2}}
\end{equation*}
带电圆盘在 $P$ 点处的场强为:
\begin{equation*}
\begin{split}
E=&\int \mathrm dE_x= \frac{\sigma x}{4\pi\varepsilon_0}\int_0^R \frac{ r\mathrm dr}{(x^2+r^2)^{3/2}}\int_0^{2\pi}\mathrm d\theta \\
=&\frac{\sigma x }{2\varepsilon_0} \int_0^{R} \frac{r}{(x^2+r^2)^{3/2}}\mathrm dr
\end{split}
\end{equation*}
剩余计算过程与前述方法一样。
作业
作业:习题1-12
科研训练:1 检索文献资料,了解均匀带电圆环的电场分布的计算。2 检索文献资料,找出一种还未被研究过或研究不完全的特殊形状的带电体,计算其电场分布。
参考资料
- 贾启民《电磁学》
- 赵凯华《电磁学》
#