点电荷之间的相互作用能

把一堆点电荷聚在一起需要做多少功？

先把一个点电荷\[q_1\]放在某处，然后将第二个点电荷\[q_2\]从无限远处移动至距离$q_1$ $r_{12}$处，外力做功：

\begin{equation*}
A_2’=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{q_1q_2}{r_{12}}=q_2U_{12}
\end{equation*}

其中$U_{12}$为点电荷$q_1$的电场在点电荷$q_2$处的电势。

再移动过来点电荷$q_3$，外力做功：

\begin{equation*}
A_3’=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\left(\frac{q_1q_2}{r_{13}}+\frac{q_2q_3}{r_{23}}\right)=q_2\left(U_{13}+U_{23}\right)
\end{equation*}

以此类推，把第$i$个点电荷移动过来，需要做功：

\begin{equation*}
\begin{split}
A_i’=&\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\left(\frac{q_1q_i}{r_{1i}}+\frac{q_2q_i}{r_{2i}}+\dots+\frac{q_{i-1}q_i}{r_{i-1,i}}\right)=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\sum_j^{i-1}\frac{q_iq_j}{r_{ij}}\\
=&q_i\sum_j^{i-1}U_{ij}=q_iU_i
\end{split}
\end{equation*}

把$n$个电荷都摆在相应的位置，需要做功

\begin{equation*}
\begin{split}
A’=&\sum_{i=2}^n A_i’=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\sum_{i=2}^n \sum_{j=1}^{i-1}\frac{q_iq_j}{r_{ij}}=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^{i-1}\frac{q_iq_j}{r_{ij}}\\
=&\sum_{i=1}^nq_i\sum_{j=1}^{i-1}U_{ij}
\end{split}
\end{equation*}

如果先把第$n$个电荷放置好，然后依次放置第$n-1$、$n-2$、$\dots$、$1$个电荷，则需要做功

\begin{equation*}
A”=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\sum_{i=1}^n \sum_{j=i+1}^{n}\frac{q_iq_j}{r_{ij}}
=\sum_{i=1}^nq_i\sum_{j=i+1}^{n}U_{ij}
\end{equation*}

显然$A’=A”$，则$A’$还可写为：

\begin{equation*}
A’=\frac{1}{2}(A’+A”)=\frac{1}{8\pi\varepsilon_0}\sum_{i=1}^n \sum_{j=1,j\neq i}^{n}\frac{q_iq_j}{r_{ij}}
=\frac{1}{2}\sum_{i=1}^nq_i U_{i}
\end{equation*}

外力做功转化为点电荷系的相互作用能$W_{互}$：

\begin{equation*}
W_{互}=\frac{1}{8\pi\varepsilon_0}\sum_{i=1}^n \sum_{j=1,j\neq i}^{n}\frac{q_iq_j}{r_{ij}}
=\frac{1}{2}\sum_{i=1}^nq_i U_{i}
\end{equation*}

点电荷系的相互作用能等于各点电荷电量与该电荷所在处电势乘积之和的一半。

如果电荷系处于某静电场中，则电荷系的静电能为：

\begin{equation*}
W_{e}=\sum_iq_iU_{0i}+\frac{1}{2}\sum_{i=1}^nq_i U_{i}
\end{equation*}

其中，$U_{0i}$ 为$q_i$ 处外电场的电势，第一项为电荷系在外场中的静电能。

电荷连续分布带电体的电势能

连续带电体可以分割成很多的电荷元，每个电荷元$\mathrm dq$可以看成点电荷，则带电体静电能为：

\begin{equation*}
W_{e}=\frac{1}{2}\int U\mathrm dq
\end{equation*}

对于体分布：

\begin{equation*}
W_{e}=\frac{1}{2}\int U\rho\mathrm dV
\end{equation*}

对于面分布：

\begin{equation*}
W_{e}=\frac{1}{2}\int U\sigma \mathrm dS
\end{equation*}

对于线分布：

\begin{equation*}
W_{e}=\frac{1}{2}\int U\eta\mathrm dl
\end{equation*}

如果只有一个带电体，以上各式就是各带电体的自能。

例1 3个点电荷，放在边长为$l$ 的等边三角形的三个顶点上，求体系的静电能。

三个顶点处电势为 $U_1=U_2=U_3=\frac{q}{4\pi\epsilon_0l}+\frac{q}{4\pi\epsilon_0l}=\frac{q}{2\pi\epsilon_0l}$，静电能为

\begin{equation*}
W_{e}=\frac{1}{2}\sum_iq_iU_i=\frac{3q}{2}\frac{q}{2\pi\epsilon_0l}=\frac{3q^2}{4\pi\epsilon_0l}
\end{equation*}

例2 电偶极子在均匀电场中的静电能

赵凯华电磁学
例2 求电偶极子在均匀外场中的电势能

电偶极子电势能

\begin{equation*}
W=-qU_-+qU_+=q(U_+-U_-)=-qEl\cos\theta=-\vec{p}\cdot\vec{E}
\end{equation*}

例3 电偶极子在电场中的静电能

贾启民电磁学 pp 46/61
例3 求电偶极子在外场中的电势能

外场的电势分布为$U(\vec{r})$。电偶极子负电荷位于$\vec{r}$处，则正电荷位于$\vec{r}+\vec{l}$处，电偶极子电势能

\begin{equation*}
W=-qU(\vec{r})+qU(\vec{r}+\vec{l})=q\vec{l}\cdot\nabla U(\vec{r})=-\vec{p}\cdot\vec{E}
\end{equation*}

例4 求均匀带点球的自能。球半径为$R$，电量为$Q$。

电荷体密度为

\begin{equation*}
\rho=\frac{3Q}{4\pi R^3}
\end{equation*}

根据高斯定理，可求得电场分布

\begin{equation*}
\vec{E}(\vec{r})=
\begin{cases}
\frac{\rho}{3\epsilon_0}\vec{r}, & r\lt R \\
\frac{Q}{4\pi\epsilon_0 r^2}\hat{r}, & r \gt R
\end{cases}
\end{equation*}

球内任意一点电势

\begin{equation*}
\begin{split}
U(r)=&\int_r^{\infty}E(r)\mathrm dr=\int_r^R\frac{\rho}{3\epsilon_0}\mathrm dr+\int_R^{\infty}\frac{Q}{4\pi\epsilon_0 r^2}\mathrm dr \\ =&\frac{\rho}{6\epsilon_0}(3R^2-r^2)
\end{split}
\end{equation*}

静电能

\begin{equation*}
W_{e}=\frac{1}{2}\int U\rho\mathrm dV=\frac{\rho^2}{12\epsilon_0}\int_0^R(3R^2-r^2)4\pi r^2\mathrm dr=\frac{3}{5}\frac{Q^2}{4\pi\epsilon_0R^2}
\end{equation*}

这就是带电球的自能。若带电球半径$R\rightarrow 0$，自能$W\rightarrow \infty$，发散，这显然好不符合物理的。电子是最小的带电体，若把电子看成点电荷，将会有发散的困难，为了避免此困难，必须假定电子的电荷在一定范围内分布。

参考资料