磁感应强度

为了描述电场的分布，我们引入电场强度矢量\[\vec{E}\]，同样，为了描述磁场的分布，我们也需要引入一个新的矢量，这个矢量就是磁感应强度\[\vec{B}\]。

两个电流元的磁相互作用力满足安培定律

\begin{equation*}
\mathrm d\vec{F}_{12}=k\frac{I_2\mathrm d\vec{l}_2\times (I_1\mathrm d\vec{l}_1\times \hat{r_{12}})}{r_{12}^2}=\frac{\mu_0}{4\pi}\frac{I_2\mathrm d\vec{l}_2\times (I_1\mathrm d\vec{l}_1\times \hat{r_{12}})}{r_{12}^2}
\end{equation*}

在国际单位制中，$\frac{\mu_0}{4\pi}=10^{-7}\mathrm {N/A^2}$。

元电流之间的安培力的表达式分成两项：

\begin{equation*}
\mathrm d\vec{F}_{12}=I_2\mathrm d\vec{l}_2\times \mathrm d\vec{B}
\end{equation*}

\begin{equation*}
\mathrm d\vec{B}=\frac{\mu_0}{4\pi}\frac{I_1\mathrm d\vec{l}_1\times \hat{r_{12}}}{r_{12}^2}
\end{equation*}

把电流元$I_2 \mathrm d\vec{l} _2$看做试探电流元，则$\mathrm d \vec{B}$则为电流元$I_1\mathrm d\vec{l} _1$的磁场在电流元$I_2\mathrm d\vec{l} _2$所在位置处的磁感应强度。

整个回路1对电流元$I_2\mathrm d\vec{l}_2$的作用力为

\begin{equation*}
\begin{split}
\mathrm d\vec{F}_{2}=&\frac{\mu_0}{4\pi}\oint_{L_1}\frac{I_2\mathrm d\vec{l}_2\times (I_1\mathrm d\vec{l}_1\times \hat{r_{12}})}{r_{12}^2}=\frac{\mu_0}{4\pi}I_2d\vec{l}_2\times\mathrm \oint_{L_1}\frac{ I_1\mathrm d\vec{l}_1\times \hat{r_{12}}}{r_{12}^2} \\
=&I_2d\vec{l}_2\times \vec{B}
\end{split}
\end{equation*}

上式中

\begin{equation*}
\vec{B}=\frac{\mu_0}{4\pi}\oint_{L_1}\frac{I_1\mathrm d\vec{l}_1\times \hat{r_{12}}}{r_{12}^2}
\end{equation*}

即为闭合回路$L_1$的磁场在电流元$I_2\mathrm d\vec{l}_2$所在位置处的磁感应强度。

一个电流元在磁场中的受力

\begin{equation*}
\mathrm d\vec{F}_{2}=I_2d\vec{l}_2\times \vec{B}
\end{equation*}

这里的$\vec{B}$可以是电流产生的磁场，也可以是磁铁产生的磁场，或其他任何来源产生的磁场。

力的大小为

\begin{equation*}
d{F}_{2}=I_2d{l}_2{B}\sin\theta
\end{equation*}

其中，$\theta$为试探电流元方向与磁场方向的夹角。当两个方向平行或反平行时，$\theta =0,\pi$，$\mathrm dF_2=0$，当二者垂直时，试探电流元受力最大，$d{F}_{2}=I_2d{l}_2{B}$，这样我们就可以确定空间任意一点磁感应强度的大小：

\begin{equation*}
B=\frac{(d{F}_{2})_{max}}{I_2d{l}_2}
\end{equation*}

磁场的方向由矢量叉乘的右手定则确定。

磁感应强度的单位为$\mathrm{N/(A\cdot m)}$，这个单位有个专门的名称特斯拉，用$\mathrm T$表示，

\begin{equation*}
1\mathrm T=1 \mathrm{N/(A\cdot m)}
\end{equation*}

另外一个广泛使用的单位是高斯，用$\mathrm {Gs}$表示，

\begin{equation*}
1\mathrm T=1 \mathrm {Gs}
\end{equation*}

\begin{equation*}
1 \mathrm {Gs} =10^{-4}\mathrm T
\end{equation*}

磁感应线可用来可视化磁场。

毕奥-萨伐尔定律

电流元和闭合载流回路产生在空间任意一点产生的磁场

\begin{equation*}
\mathrm d\vec{B}=\frac{\mu_0}{4\pi}\frac{I\mathrm d\vec{l}\times \hat{r}}{r^2}
\end{equation*}

\begin{equation*}
\vec{B}=\frac{\mu_0}{4\pi}\oint_{L}\frac{I\mathrm d\vec{l}\times \hat{r}}{r^2}
\end{equation*}

此两式正是毕奥-萨伐尔定律。

课堂练习：判断图中1-8各点的磁感应强度的方向和大小。

判断图中1-8各点的磁感应强度的方向和大小

下面求解几种电流的磁场分布。

载流直导线的磁场

考虑一段直导线在场点$P$ 处的磁感应强度。

载流直导线的磁场

根据毕奥-萨伐尔定律，任意电流元$I\mathrm d\vec{l}$产生的元磁场$\mathrm d\vec{B}$的方向一致（在点$P$ 处的磁感应强度方向垂直纸面向里），因此总磁感应强度$B$的大小为$\mathrm dB$的代数和，

\begin{equation*}
B=\int\mathrm dB=\frac{\mu_0}{4\pi}\int_{A_1}^{A_2}\frac{I\mathrm dl\sin\theta}{r^2}
\end{equation*}

$P$点到导线距离为$r_0$，由图可知，

\begin{equation*}
l=-r_0\cot\theta
\end{equation*}

\begin{equation*}
r=\frac{r_0}{\sin\theta}
\end{equation*}

所以

\begin{equation*}
B=\frac{\mu_0I}{4\pi}\int_{A_1}^{A_2}\frac{\mathrm dl \sin\theta}{r^2}=\frac{\mu_0I}{4\pi r_0}\int_{\theta_1}^{\theta_2}\sin\theta\mathrm d\theta=\frac{\mu_0I}{4\pi r_0}(\cos\theta_1-\cos\theta_2)
\end{equation*}

若导线为无限长（$r_0 \ll l$），$\theta_1=0$，$\theta_1=\pi$，则

\begin{equation*}
B=\frac{\mu_0I}{2\pi r_0}
\end{equation*}

即长载流导线周围的磁感应强度的大小与场点到导线的距离成反比。

长直导线周围的磁感应线是以导线为中心的同心圆，磁感应强度的方向由右手定则确定。

无限长载流导线的磁感应线

载流圆线圈轴线上的磁场

设圆线圈中心为$O$，半径为$R$，其上任意一点$A$处电流元在轴线上一点$P$处产生的磁场为$\mathrm d\vec{B}$，线圈上与$A$点对称的点$A’$在点$P$处产生的磁场为$\mathrm d\vec{B}’$，$\mathrm d\vec{B}$和$\mathrm d\vec{B}’$合成后沿$OP$方向，因此我们只需要计算电流元沿轴线方向的分量。对于整个圆线圈来说，在轴线上的磁场的总磁感应强度的方向沿轴线方向。

\begin{equation*}
\begin{split}
B=&\int \mathrm dB\cos\alpha=\frac{\mu_0I}{4\pi }\oint \frac{\mathrm dl}{r^2}\cos\alpha =\frac{\mu_0I}{4\pi r_0^2}\sin^2\alpha\cos\alpha\oint \mathrm dl \\
=&\frac{\mu_0IR}{2 r_0^2}\sin^2\alpha\cos\alpha
\end{split}
\end{equation*}

又

\begin{equation*}
\sin\alpha=\frac{r_0}{\sqrt{r_0^2+R^2}}
\end{equation*}

\begin{equation*}
\cos\alpha=\frac{R}{\sqrt{r_0^2+R^2}}
\end{equation*}

于是

\begin{equation*}
B=\frac{\mu_0IR}{2 r_0^2}\sin^2\alpha\cos\alpha=\frac{\mu_0IR^2}{2(r_0^2+R^2)^{3/2}}
\end{equation*}

在圆心处，$r_0=0$

\begin{equation*}
B=\frac{\mu_0I}{2R}
\end{equation*}

无限远处，$r_0\gg R$

\begin{equation*}
B=\frac{\mu_0IR^2}{2r_0^{3/2}}
\end{equation*}

亥姆霍兹线圈的磁场

亥姆霍兹线圈（Helmholtz coil）是一种制造小范围区域均匀磁场的器件。由于亥姆霍兹线圈具有开敞性质，很容易地可以将其它仪器置入或移出，也可以直接做视觉观察，所以，是物理实验常使用的器件。如下图是一座装配了亥姆霍兹线圈的物理仪器。

一座装配了亥姆霍兹线圈的物理仪器

下面我们讨论一下亥姆霍兹线圈中心轴线上的磁场。如下图所示，一对平行排列的相同的圆形线圈，通有同样的电流$I$，且回绕方向一致，线圈的半径为$R$，线圈相距$a$。

亥姆霍兹线圈

取线圈轴线上距离线圈等远处$O$点处为坐标原点，沿轴线建立$O-x$轴。则轴线上的磁场如下图所示。虚线为两线圈单独产生的磁场，实线为二者叠加之后的场。可以看出，当线圈间距$a$比较大时，$O$点处磁场为极小值，当线圈间距$a$比较小时，$O$点处磁场为极大值，因此当线圈间距$a$比较合适时，$O$点处接近均匀磁场。

亥姆霍兹线圈轴线上的磁场

设场点$P$的坐标为$x$，则两线圈产生的磁场分别为

\begin{equation*}
\vec{B}_1=\frac{\mu_0 IR^2}{2}\frac{1}{\left [R^2+(x+a/2)^2 \right ]^{3/2}}\vec{i}
\end{equation*}

\begin{equation*}
\vec{B}_2=\frac{\mu_0 IR^2}{2}\frac{1}{\left [R^2+(x-a/2)^2 \right ]^{3/2}}\vec{i}
\end{equation*}

总磁场为

\begin{equation*}
\vec{B}(x)=\vec{B}_1+\vec{B}_2=\frac{\mu_0 IR^2}{2}\left \{\frac{1}{\left [R^2+(x+a/2)^2 \right ]^{3/2}}+\frac{1}{\left [R^2+(x-a/2)^2 \right ]^{3/2}}\right \}\vec{i}
\end{equation*}

将$B(x)$在$x=0$处做泰勒展开，

\begin{equation*}
B(x)=B(0)+x\left( \frac{\mathrm dB(x)}{\mathrm dx} \right )_{x=0}+\frac{x^2}{2!}\left( \frac{\mathrm d^2B(x)}{\mathrm dx^2} \right )_{x=0}+\frac{x^3}{3!}\left( \frac{\mathrm d^3B(x)}{\mathrm dx^3} \right )_{x=0}+\frac{x^4}{4!}\left( \frac{\mathrm d^4B(x)}{\mathrm dx^4} \right )_{x=0}+O(x^4)
\end{equation*}

由于$B(x)$是偶函数，$B(x)=B(-x)$，故$\left( \frac{\mathrm dB(x)}{\mathrm dx} \right )_{x=0}=0$，$\left( \frac{\mathrm d^3B(x)}{\mathrm dx^3} \right )_{x=0}=0$，如果$\left( \frac{\mathrm d^2B(x)}{\mathrm dx^2} \right )_{x=0}=0$，则

\begin{equation*}
B(x)=B(0)+O(x^4)
\end{equation*}

磁场最为均匀。

由$\left( \frac{\mathrm d^2B(x)}{\mathrm dx^2} \right )_{x=0}=0$，得

\begin{equation*}
a=R
\end{equation*}

即两线圈的距离等于其半径。下图为亥姆霍兹线圈的示意图。

亥姆霍兹线圈示意图

如果电流反向，即成为反亥姆霍兹线圈（Anti-Helmholtz coil）。线圈中心磁场为0，并具有$0.86\mu_0 I/R^2$的线性梯度。反亥姆霍兹线圈常用于冷原子实验中的磁光阱。

磁光阱实验装置

载流螺线管轴线上的磁场

螺线管是很细的导线密绕而成，因此可以把螺线管近似看成导体圆筒上套着许许多多圆电流。

通电螺线管可近似看成并排圆电流

沿轴线单位长度的圆电流的个数即为螺线管单位长度的匝数$n$，电流强度为$I$。设螺线管半径为$R$，总长度为$L$，取圆筒中点为原点$O$，圆筒轴线为$x$轴。长$\mathrm dl$内的电流在场点$P$处产生的磁感应强度为

\begin{equation*}
\mathrm dB=\frac{\mu_0nIR^2}{2[(x-l)^2+R^2]^{3/2}}\mathrm dl
\end{equation*}

因

\begin{equation*}
x-l=R\cot\beta
\end{equation*}

于是有

\begin{equation*}
\mathrm dl=\frac{R}{\sin^2\beta}\mathrm d\beta
\end{equation*}

磁感应强度

\begin{equation*}
\begin{split}
B=&\int\mathrm dB=\int_{-L/2}^{L/2}\frac{\mu_0nIR^2}{2[(x-l)^2+R^2]^{3/2}}\mathrm dl\\
=&\frac{\mu_0nI}{2}\int_{\beta_1}^{\beta_2}\sin\beta\mathrm d\beta=\frac{\mu_0nI}{2}(\cos\beta_1-\cos\beta_2)
\end{split}
\end{equation*}

其中，

\begin{equation*}
\begin{cases}
\cos\beta_1=&\frac{x+L/2}{\sqrt{R^2+(x+L/2)^2}}\\
\cos\beta_2=&\frac{L/2-x}{\sqrt{R^2+(L/2-x)^2}}
\end{cases}
\end{equation*}

对于无限长螺线管

\begin{equation*}
B=\mu_0nI
\end{equation*}

对于半无限长螺线管，端点处轴线上磁感应强度

\begin{equation*}
B=\frac{\mu_0nI}{2}
\end{equation*}

参考资料

• 赵凯华《电磁学》