Skip to content

Joyful Physics

格软物质 推硬物理

菜单1 菜单1
  • 首页
  • 关于
  • 连载
  • 友链
  • 导航
Expand Search Form

波动的数学描述

瞿立建 2016-03-03

波动

波动是扰动的传播。例如,把一块石头投入平静的水池,就会有一个圆形的波纹从石头落点扩散开来。石头的冲击产生一个向外传播的扰动。在扰动传播过程中,水并不随扰动向外运动,而是围绕平衡位置运动。如图,


图1 水波


图2 猛然一个抖动,形成脉冲


图3 简谐抖动,形成简谐波


图4 纵波
电磁场受到扰动,形成电磁波。引力场曲率受到扰动,形成引力波。

一维波动

假设一扰动\[\psi\]以速度$v$沿$x$轴正方向传播。我们这里先不管扰动的本性是什么,可以是绳子的垂直位移,也可以是电场或磁场,也可以是物质波的几率振幅,也可以是时空曲率。

既然扰动在运动,其必定是位置和时间的函数,因而可以写为

\begin{equation}
\psi=f(x,t)
\label{eq1}
\end{equation}

波动在任意时刻的形状,可带入相应的$t$得到,比如初始时刻$t=0$时的扰动的形状为

\begin{equation}
\psi|_{t=0}=f(x,t=0)=f(x)
\label{eq2}
\end{equation}

这就是这个时刻波的形状,类似当扰动经过时给它拍一张照片。目前我们只讨论传播过程中,波形状不变的波。图5就是一个扰动两次曝光的照片,分别是在一段时间间隔$t$开始和终了时拍的照片。


图5 扰动的传播

扰动沿$x$轴运动了一段距离$vt$,其他方面都保持不变。引入一个与扰动一起运动的坐标系$S’$,在这个坐标系中,$\psi$不是时间的函数。在$S’$系中,扰动的形式是保持不变的,即

\begin{equation}
\psi=f(x’)
\label{eq3}
\end{equation}

$S$系和$S’$系坐标之间的关系是

\begin{equation}
x’=x-vt
\label{eq4}
\end{equation}

因此在$S$系中,$\psi$的函数形式是

\begin{equation}
\psi=f(x-vt)
\label{eq5}
\end{equation}

这个函数就代表一维波函数的一般形式。即只要给定初始时刻的扰动的形状$f(x)$,把$x$换成$x-vt$,所得的表达式即为沿$x$正方向传播的波。相应地,如果波沿$x$负方向传播,式\eqref{eq5}应变为

\begin{equation}
\psi=f(x+vt)
\label{eq6}
\end{equation}

这里$v>0$,因为表示的是扰动传播的速率。

下面说个具体的例子。一个扰动$\psi(x,t=0)=f(x)=\frac{3}{10x^2+1}$,扰动沿$x$正方向传播,波函数为$\psi(x,)=f(x)=\frac{3}{10(x-vt)^2+1}$。取$v=1\mathrm{m/s}$,扰动传播则如图6所示。


图6 扰动传播实例

练习:半圆脉冲

\begin{equation*}
f(x)=
\begin{cases}
(R^2-x^2), &|x|\leq R \\
0, &|x|\geq R
\end{cases}
\end{equation*}

的传播。

)

简谐波

目前为止,我们没有为波函数$\psi(x,t)$指定具体的函数形式,即没有说明具体的波形。下面我们讨论最简单的波形——正弦或余弦曲线。这种波叫做简谐波,也叫做正弦波或余弦波。任意的波形都可以由简谐波的叠加来合成,所以简谐波具有特殊的重要意义。

初始时刻的扰动为

\begin{equation}
\psi|_{t=0}=\psi(x)=f(x)=A\cos (kx+\varphi_0)
\label{eq7}
\end{equation}

其中,$k$叫做波数。

如果波沿$x$正方向传播

\begin{equation}
\psi(x,t)=f(x-vt)=A\cos [k(x-vt)+\varphi_0]
\label{eq8}
\end{equation}

这个波对空间和时间都具有周期性,空间周期称为波长,用$\lambda$表示,当$x$增大或减小$\lambda$时,$\psi$保持不变

\begin{equation}
\psi(x,t)=\psi(x\pm \lambda,t)
\label{eq9}
\end{equation}

即

\begin{equation*}
\begin{split}
A\cos [k(x-vt)+\varphi_0]&=A\cos k[(x\pm \lambda)-vt+\varphi_0]\\
&=A\cos [k(x-vt)\pm k\lambda+\varphi_0]
\end{split}
\end{equation*}

于是有

\begin{equation*}
|k\lambda|=2\pi
\end{equation*}

所以有

\begin{equation}
k=2\pi/\lambda
\label{eq10}
\end{equation}

波的时间周期称为$T$,这是一个完整波形通过一个固定观测者所需要的时间。当$t$增大或减小$T$时,$\psi$保持不变

\begin{equation}
\psi(x,t)=\psi(x,t\pm T)
\label{eq11}
\end{equation}

即

\begin{equation*}
\begin{split}
A\cos [k(x-vt)+\varphi_0]&=A\cos k[x-v(t\pm T)+\varphi_0]\\
&=A\cos [k(x-vt)\pm kvT+\varphi_0]
\end{split}
\end{equation*}

所以有

\begin{equation*}
|kvT|=2\pi
\end{equation*}

也即

\begin{equation*}
k=\frac{2\pi}{vT}=\frac{2\pi}{\lambda}
\end{equation*}

于是

\begin{equation}
T=\frac{\lambda}{v}
\label{eq12}
\end{equation}

周期的倒数称为频率,

\begin{equation}
\nu = \frac{1}{T}
\label{eq13}
\end{equation}

频率表示单位时间内波动的次数。

另外一个重用的物理量是角频率

\begin{equation}
\omega = 2\pi \nu = \frac{2\pi}{T}
\label{eq14}
\end{equation}

简谐波有多种等价的表示方法,最常用的有

\begin{equation*}
\begin{split}
\psi(x,t)&=A\cos [k(x\mp vt)+\varphi_0]\\
\psi(x,t)&=A\cos \left [ 2\pi\left (\frac{x}{\lambda}\mp \frac{t}{T} \right )+\varphi_0\right ]\\
\psi(x,t)&=A\cos (kx\mp \omega t+\varphi_0)\\
\psi(x,t)&=A\cos \left [ 2\pi\nu\left (\frac{x}{v}\mp t \right )+\varphi_0 \right ]
\end{split}
\end{equation*}

括号里面的项称为相位,$\varphi_0$叫做初相位。

波也可以用复数进行表示。

根据欧拉公式

\begin{equation*}
e^{i\theta}=\cos\theta+i\sin\theta
\end{equation*}

复数

\begin{equation*}
\psi(x,t)=Ae^{i(kx\mp \omega t+\varphi_0)}
\end{equation*}

取实部或虚部即为真实的波函数。

注意,复数表示与正弦形式不是相等关系,而是对应关系。加减运算时,实部和虚部互不干扰,在最后的结果取相应的的实部或虚部即可。

参考资料

  • 光学,赫科特
  • 光学,加塔克
  • Fundamentals of Physics-Halliday Extended 10th
分类目录 光学近代物理备课讲义 标签 周期, 复数, 波, 波速, 波长, 相位, 简谐波
Previous: 理论物理极础11:电力和磁力
Next: 波的相干叠加

功能

  • 登录
  • 项目feed
  • 评论feed
  • WordPress.org

近期文章

  • 美国物理学会流体视频大赛获胜视频 2017-10-03
  • 薄膜干涉 2017-04-10
  • 最速降线gif图片 2017-02-19
  • DNA 解链 2016-12-26
  • 生物化学机器DNA 2016-12-26

分类目录

  • Matlab (1)
  • Todd讲Matlab (6)
  • 博客教程 (3)
  • 备课讲义 (27)
    • 光学近代物理备课讲义 (7)
    • 电磁学备课讲义 (20)
  • 教学笔记 (23)
  • 未分类 (2)
  • 物理之外 (2)
  • 物理科普 (3)
  • 理论物理极础 (16)
  • 科学史哲 (6)
  • 科学时评 (31)
  • 科研笔记 (12)
  • 软物质物理 (7)
    • Doi高分子物理导论 (3)
  • 软物质科普 (9)

标签

latex PI random walk 世界一流 人物 假说 偏倚随机行走 凝胶 创新 加速度 势能 吉尔伯特 奥斯特 富兰克林 对称性 导体 导数 库仑定律 感应电动势 拉格朗日量 数学 无规行走 标度理论 梯度 泊松括号 法拉第 波 浓度梯度 理想链 电场 相空间 研究生 科学 科学家 简谐振动 能量守恒 蒲慕明 连续带电体 迭代 随机行走 静电屏蔽 非线性方程 高分子 高斯分布 高斯定理

近期评论

  • 蒲慕明所长在中科院神经科学研究所历年年会上的讲话 – Joyful Physics发表在《论研究生教育——蒲慕明所长在神经所2005年会上的讲话》
  • 术索发表在《磁介质》
  • 瞿立建发表在《友链》
  • taho发表在《磁介质》
  • taho发表在《友链》
2021年一月
日 一 二 三 四 五 六
 12
3456789
10111213141516
17181920212223
24252627282930
31  
« 10月    

文章归档

  • 2017年十月 (1)
  • 2017年四月 (1)
  • 2017年二月 (1)
  • 2016年十二月 (4)
  • 2016年十一月 (3)
  • 2016年十月 (10)
  • 2016年九月 (10)
  • 2016年八月 (10)
  • 2016年七月 (7)
  • 2016年六月 (8)
  • 2016年五月 (9)
  • 2016年四月 (7)
  • 2016年三月 (6)
  • 2016年二月 (7)
  • 2016年一月 (8)
  • 2015年十二月 (6)
  • 2015年十一月 (6)
  • 2015年十月 (10)
  • 2015年九月 (9)
  • 2015年八月 (9)
  • 2015年七月 (7)
  • 2015年六月 (7)

Joyful Physics © 2021