波动

波动是扰动的传播。例如，把一块石头投入平静的水池，就会有一个圆形的波纹从石头落点扩散开来。石头的冲击产生一个向外传播的扰动。在扰动传播过程中，水并不随扰动向外运动，而是围绕平衡位置运动。如图，

图1 水波

图2 猛然一个抖动，形成脉冲

图3 简谐抖动，形成简谐波

图4 纵波
电磁场受到扰动，形成电磁波。引力场曲率受到扰动，形成引力波。

一维波动

假设一扰动\[\psi\]以速度$v$沿$x$轴正方向传播。我们这里先不管扰动的本性是什么，可以是绳子的垂直位移，也可以是电场或磁场，也可以是物质波的几率振幅，也可以是时空曲率。

既然扰动在运动，其必定是位置和时间的函数，因而可以写为

\begin{equation}
\psi=f(x,t)
\label{eq1}
\end{equation}

波动在任意时刻的形状，可带入相应的$t$得到，比如初始时刻$t=0$时的扰动的形状为

\begin{equation}
\psi|_{t=0}=f(x,t=0)=f(x)
\label{eq2}
\end{equation}

这就是这个时刻波的形状，类似当扰动经过时给它拍一张照片。目前我们只讨论传播过程中，波形状不变的波。图5就是一个扰动两次曝光的照片，分别是在一段时间间隔$t$开始和终了时拍的照片。

图5 扰动的传播

扰动沿$x$轴运动了一段距离$vt$，其他方面都保持不变。引入一个与扰动一起运动的坐标系$S’$，在这个坐标系中，$\psi$不是时间的函数。在$S’$系中，扰动的形式是保持不变的，即

\begin{equation}
\psi=f(x’)
\label{eq3}
\end{equation}

$S$系和$S’$系坐标之间的关系是

\begin{equation}
x’=x-vt
\label{eq4}
\end{equation}

因此在$S$系中，$\psi$的函数形式是

\begin{equation}
\psi=f(x-vt)
\label{eq5}
\end{equation}

这个函数就代表一维波函数的一般形式。即只要给定初始时刻的扰动的形状$f(x)$，把$x$换成$x-vt$，所得的表达式即为沿$x$正方向传播的波。相应地，如果波沿$x$负方向传播，式\eqref{eq5}应变为

\begin{equation}
\psi=f(x+vt)
\label{eq6}
\end{equation}

这里$v>0$，因为表示的是扰动传播的速率。

下面说个具体的例子。一个扰动$\psi(x,t=0)=f(x)=\frac{3}{10x^2+1}$，扰动沿$x$正方向传播，波函数为$\psi(x,)=f(x)=\frac{3}{10(x-vt)^2+1}$。取$v=1\mathrm{m/s}$，扰动传播则如图6所示。

图6 扰动传播实例

练习：半圆脉冲

\begin{equation*}
f(x)=
\begin{cases}
(R^2-x^2), &|x|\leq R \\
0, &|x|\geq R
\end{cases}
\end{equation*}

的传播。

)

简谐波

目前为止，我们没有为波函数$\psi(x,t)$指定具体的函数形式，即没有说明具体的波形。下面我们讨论最简单的波形——正弦或余弦曲线。这种波叫做简谐波，也叫做正弦波或余弦波。任意的波形都可以由简谐波的叠加来合成，所以简谐波具有特殊的重要意义。

初始时刻的扰动为

\begin{equation}
\psi|_{t=0}=\psi(x)=f(x)=A\cos (kx+\varphi_0)
\label{eq7}
\end{equation}

其中，$k$叫做波数。

如果波沿$x$正方向传播

\begin{equation}
\psi(x,t)=f(x-vt)=A\cos [k(x-vt)+\varphi_0]
\label{eq8}
\end{equation}

这个波对空间和时间都具有周期性，空间周期称为波长，用$\lambda$表示，当$x$增大或减小$\lambda$时，$\psi$保持不变

\begin{equation}
\psi(x,t)=\psi(x\pm \lambda,t)
\label{eq9}
\end{equation}

即

\begin{equation*}
\begin{split}
A\cos [k(x-vt)+\varphi_0]&=A\cos k[(x\pm \lambda)-vt+\varphi_0]\\
&=A\cos [k(x-vt)\pm k\lambda+\varphi_0]
\end{split}
\end{equation*}

于是有

\begin{equation*}
|k\lambda|=2\pi
\end{equation*}

所以有

\begin{equation}
k=2\pi/\lambda
\label{eq10}
\end{equation}

波的时间周期称为$T$，这是一个完整波形通过一个固定观测者所需要的时间。当$t$增大或减小$T$时，$\psi$保持不变

\begin{equation}
\psi(x,t)=\psi(x,t\pm T)
\label{eq11}
\end{equation}

即

\begin{equation*}
\begin{split}
A\cos [k(x-vt)+\varphi_0]&=A\cos k[x-v(t\pm T)+\varphi_0]\\
&=A\cos [k(x-vt)\pm kvT+\varphi_0]
\end{split}
\end{equation*}

所以有

\begin{equation*}
|kvT|=2\pi
\end{equation*}

也即

\begin{equation*}
k=\frac{2\pi}{vT}=\frac{2\pi}{\lambda}
\end{equation*}

于是

\begin{equation}
T=\frac{\lambda}{v}
\label{eq12}
\end{equation}

周期的倒数称为频率，

\begin{equation}
\nu = \frac{1}{T}
\label{eq13}
\end{equation}

频率表示单位时间内波动的次数。

另外一个重用的物理量是角频率

\begin{equation}
\omega = 2\pi \nu = \frac{2\pi}{T}
\label{eq14}
\end{equation}

简谐波有多种等价的表示方法，最常用的有

\begin{equation*}
\begin{split}
\psi(x,t)&=A\cos [k(x\mp vt)+\varphi_0]\\
\psi(x,t)&=A\cos \left [ 2\pi\left (\frac{x}{\lambda}\mp \frac{t}{T} \right )+\varphi_0\right ]\\
\psi(x,t)&=A\cos (kx\mp \omega t+\varphi_0)\\
\psi(x,t)&=A\cos \left [ 2\pi\nu\left (\frac{x}{v}\mp t \right )+\varphi_0 \right ]
\end{split}
\end{equation*}

括号里面的项称为相位，$\varphi_0$叫做初相位。

波也可以用复数进行表示。

根据欧拉公式

\begin{equation*}
e^{i\theta}=\cos\theta+i\sin\theta
\end{equation*}

复数

\begin{equation*}
\psi(x,t)=Ae^{i(kx\mp \omega t+\varphi_0)}
\end{equation*}

取实部或虚部即为真实的波函数。

注意，复数表示与正弦形式不是相等关系，而是对应关系。加减运算时，实部和虚部互不干扰，在最后的结果取相应的的实部或虚部即可。

参考资料

• 光学，赫科特
• 光学，加塔克
• Fundamentals of Physics-Halliday Extended 10th