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波的相干叠加

瞿立建 2016-03-08

波的独立性和叠加性

几列波相遇于同一区域,只要振动不是十分强烈,各波可以保持各自的频率、振幅和振动方向等特性,按照本身原来的传播方向继续前进,彼此不受影响,这就是波的独立性。在相遇区域,总的振动是分振动的线性叠加。

两列或两列以上的波,如果波频率相等,在观测时间内波动不中断,而且在相遇处振动方向几乎沿同一直线,那么叠加后的合振动可能在某些地方加强,某些地方减弱,这种现象称为干涉。振动强度的分布称为干涉图样,或干涉花样。

干涉是波独有的行为,表明实物物体的运动与波动是完全不同的。两个运动的实物物体——比如两列火车——不可以毫不干扰地彼此穿越。

波的独立性和叠加性并不是总能成立的,当波的强度非常大时,独立性和叠加性可能会失效。

相干与不相干叠加

考虑频率相同,振动方向相同,具有恒定初始相位的两列波的叠加。设这两列波从空间两定点$S_1$和$S_2$发出,波源的振动可分别表示为

\begin{equation*}
\psi_{01}=A_1\cos\left (\omega t+\varphi_{01} \right)
\end{equation*}

\begin{equation*}
\psi_{02}=A_2\cos\left (\omega t+\varphi_{02} \right)
\end{equation*}

其中\[\varphi_{01}\]和$\varphi_{02}$分别是两波源振动的初相位。两列波同时到达空间一点$P$处,$P$点到两波源的距离分别是$r_1$和$r_2$,波速分别为$v_1$和$v_2$,如下图所示,

则$P$点处的振动为

\begin{equation*}
\psi_1=A_1\cos\left [\omega\left (t-\frac{r_1}{v_1}\right)+\varphi_{01} \right ]=A_1\cos\left (\omega t+\varphi_{1} \right)
\end{equation*}

\begin{equation*}
\psi_2=A_2\cos\left [\omega\left (t-\frac{r_2}{v_2}\right)+\varphi_{02} \right ]=A_2\cos\left (\omega t+\varphi_{2} \right)
\end{equation*}

其中$\varphi_{1}=-\omega\frac{r_1}{v_1}+\varphi_{01}$,$\varphi_{2}=-\omega\frac{r_2}{v_2}+\varphi_{02}$,为两个振动的相位。$P$点处的合振动是两振动的线性叠加:

\begin{equation*}
\psi=\psi_1+\psi_2=A\cos(\omega t + \varphi)
\end{equation*}

合振动的振幅和相位可由三角函数求得

\begin{equation*}
A^2=A_1^2+A_2^2+2A_1A_2\cos(\varphi_2-\varphi_1)=A_1^2+A_2^2+2A_1A_2\cos\Delta \varphi
\end{equation*}

\begin{equation*}
\tan \varphi=\frac{A_1\sin\varphi_1+A_2\sin\varphi_2}{A_1\cos\varphi_1+A_2\cos\varphi_2}
\end{equation*}

以上结果也可以用几何法得到,并且更简便。如下图所示

振动的强度正比于振幅的平方,于是$P$点处振动强度为

\begin{equation*}
I=A^2=I_1+I_2+2\sqrt{I_1I_2}\cos\Delta \varphi
\end{equation*}

其中

\begin{equation*}
\Delta \varphi = \omega\left (\frac{r_2}{v_2}-\frac{r_1}{v_1}\right )-(\varphi_{02}-\varphi_{01})
\end{equation*}

以上结果也可由复数法得到。合振动用复数表示为

\begin{equation*}
\psi=(A_1e^{i\varphi_1}+A_2e^{i\varphi_2})e^{i\omega t}=Ae^{i\omega t}
\end{equation*}

$P$点处振动强度为

\begin{equation*}
\begin{split}
I&=|A|^2=(A_1e^{-i\varphi_1}+A_2e^{-i\varphi_2})(A_1e^{i\varphi_1}+A_2e^{i\varphi_2})\\
&=I_1+I_2+2\sqrt{I_1I_2}\cos\Delta \varphi
\end{split}
\end{equation*}

可以看出,在一般情况下,合振动的强度不等于分振动强度之和,还取决于传播到该点的两个分振动的相位差$\Delta \varphi$。不同的$P$点处,强度随相位差做周期性的变化,于是两列波在重叠区域形成稳定的强度的周期性分布,这就是波的干涉现象。

实际观察到的总是在较长时间内的平均强度。在某一时间间隔$\tau$内,合振动的平均相对强度为

\begin{equation*}
\overline{I}=\overline{A^2}=\frac{1}{\tau}\int_0^{\tau}A^2\mathrm dt=I_1+I_2+2\sqrt{I_1I_2}\frac{1}{\tau}\int_0^{\tau}\cos(\varphi_2-\varphi_1)\mathrm dt
\end{equation*}

如果在观测时间内,振动断断续续,两振动相位差不恒定,例如是无规随机变化,相位差可取任意值,几率均等地在观察时间多次历经从0到$2\pi$之间的一切可能值,则

\begin{equation*}
\frac{1}{\tau}\int_0^{\tau}\cos(\varphi_2-\varphi_1)\mathrm dt =0
\end{equation*}

于是

\begin{equation*}
\overline{I}=I_1+I_2
\end{equation*}

那么合振动平均强度等于分振动强度之和。表面上看来,在这种情况下,合振动强度是分振动之和,不表现出干涉现象。

如果两波的频率不同,则相位差连续变化,空间$P$点处强度连续变化,对时间取平均,同样得$\overline{I}=I_1+I_2$

如果振动方向互相垂直,合振动由矢量合成得到。设两分振动分别为

\begin{equation*}
\vec{E}_1=\vec{A}_1\cos\left [\omega\left (t-\frac{r_1}{v_1}\right)+\varphi_{01} \right ]=\vec{A}_1\cos\left (\omega t+\varphi_{1} \right)=A_1\cos\left (\omega t+\varphi_{1} \right)\hat{i}
\end{equation*}

\begin{equation*}
\vec{E}_2=\vec{A}_2\cos\left [\omega\left (t-\frac{r_2}{v_2}\right)+\varphi_{02} \right ]=\vec{A}_2\cos\left (\omega t+\varphi_{2} \right)=A_2\cos\left (\omega t+\varphi_{2} \right)\hat{j}
\end{equation*}

合振动为

\begin{equation*}
\vec{E}=\vec{E}_1+\vec{E}_2
\end{equation*}

用复数法可求得合振动强度

\begin{equation*}
\begin{split}
I&=|A|^2=(\vec{A}_1e^{-i\varphi_1}+\vec{A}_2e^{-i\varphi_2})\cdot(\vec{A}_1e^{i\varphi_1}+\vec{A}_2e^{i\varphi_2})\\
&=I_1+I_2+2\vec{A}_1\cdot\vec{A}_2\cos\Delta \varphi \\
&=I_1+I_2
\end{split}
\end{equation*}

为非相干叠加。

综上,要得到相干叠加:频率相同,振动方向不垂直,观测期间两振动相位差恒定。

实现光的干涉的条件

两盏灯照射在墙上,墙的亮度是两盏灯单独照射时亮度的和,没有明暗条纹,说明两束光的叠加是非相干的,这是因为两个独立光源的初相位差是不恒定的。

光的辐射源于物质的原子或分子。在两个通常独立的光源中,甚至在同一发光体的不同部分,一般说来原子的辐射是互不相干的。在一批发出辐射的原子里,由于能量损失或由于周围原子的作用,辐射过程常常会中断。一次辐射过程延续时间很短,约$10^{-8}s$。随后另一批原子发光,但是已经具有新的初相位。因此不同原子发出的辐射之间的相位差,将在每一次新的辐射开始时发生改变,也就是说,没经过一个很短的时间间隔,相位差都会改变。光波不是无限长的连绵不断的波,而是有限长的断断续续的波列,各个波列都有不同的初始相位,完全随机的。所以两个独立的光源是不相干的。

要观察到光的干涉,可以采用某些方法将同一光源点发出的光波列分成两部分,在空间经过不同的路径再重叠起来,这样的两束光具有固定的相位差,可以满足相干条件,实现干涉。一般有两种方法:分波阵面方法和分振幅方法。

参考资料

  • 光学·近代物理
  • 光学,姚启钧
分类目录 光学近代物理备课讲义 标签 光的干涉, 叠加, 干涉, 波
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