单缝衍射现象如下图所示:
半波带法分析衍射图样
半波带
如上图,分析P点处是亮条纹还是暗条纹。现将 BC 分成 N 等份, 每份长度为λ/ 2, 即把波面 AB 切割成 N 个波带, 使得相邻两个波带上的对应点所发出的次波到达 P 点处的光程差均为λ/ 2 。对于某一确定的衍射角\[\theta\],若 BC 恰好为半波长的偶数倍,则在P点处各相邻两个子波带干涉相消,整体将呈现为暗条纹中心。若 BC 恰好为半波长的奇数倍,相邻波带的光在P点干涉相消,还剩一个波带的光到达P点,于是 P 点处将呈现为明条纹中心;衍射角越大,对应明条纹越暗。对于某衍射角,如果波振面AB不能恰好分出整数个半波带,则屏上对应点强度介于明和暗之间。
综上,暗条纹中心
\begin{equation*}
b\sin\theta=\pm k\lambda,k=1,2,3,\cdots
\end{equation*}
明条纹中心(近似)
\begin{equation*}
b\sin\theta=\pm k\lambda,k=0,1,2,3,\cdots
\end{equation*}
强度分布
研究宽度为$b$的无限长单缝产生的夫琅禾费衍射图样。假设一列平面波垂直入射到单缝上,现在需要计算透镜焦平面上的屏上的强度分布。缝可以看做是由大量等间距的点光源组成,并且认为,缝上每一点都是一个惠更斯子波源,它们发出的子波互相干涉。设点光源$A_1$,$A_2$,$A_3$,$\ldots$,并设相邻点光源的间隔为$\Delta$,如下图所示。
如果点光源的数目为$n$,则
$$b=(n-1)\Delta$$
现在需要计算$n$个点光源在点$P$的总叠加场。点$P$是透镜焦平面上任意一点,此点所能接收的平行光与狭缝法线的夹角为$\theta$。实际上缝是由连续分步的点光源组成,所以在最后的结果表达式中,将是$n$趋于无穷大,$\Delta$趋于零,并保持$n\Delta$趋于$b$。
点$A_1$,$A_2$,$A_3$,$\ldots$到点$P$的距离比缝宽$b$是很大的,所以,从这些点达到点$P$的振动的振幅几乎完全相等。但是,虽然它们到点$P$的距离只有微小的差别,但是相位差不可忽略。
对于垂直入射的平面波,在点$A_1$,$A_2$,$A_3$,$\ldots$是同相位的。点$A_2$发出的波与点$A_1$发出的波的光程差为$\overline{A_2A_2′}$
$$\overline{A_2A_2′}=\Delta \sin \theta$$
相应的相位差
$$\phi=\frac{2\pi}{\lambda}\Delta \sin \theta$$
同理,相邻点发出的相位差也是$\phi$。如果点$A_1$发出的波在点$P$产生的场$E_0\cos \omega t$,因此,各点在点$P$产生的合振动为
$$E=E_0{\cos \omega t+\cos (\omega t-\phi)+\ldots+\cos [\omega t-(n-1)\phi)]}$$
如下图可计算点$P$处的合振动
计算结果为
$$E=\frac{E_0\sin\frac{(n-1)\phi}{2}}{\sin\frac{\phi}{2}}\cos[\omega t -(n-1)\phi/2]$$
也可以用复数法得到上述结果。
\begin{equation*}
\begin{split}
\widetilde{E}&=E_0e^{i\omega t}[1+e^{-i\phi}+\ldots+e^{-i(n-1)\phi}]=E_0e^{i\omega t}\frac{1-e^{-i n \phi}}{1-e^{-i \phi}}\\
&=E_0\frac{e^{i n \phi/2}-e^{-i n \phi/2}}{e^{i \phi/2}-e^{-i \phi/2}}\frac{e^{-i n \phi/2}}{e^{-i \phi/2}}e^{i\omega t}\\
&=E_0\frac{\sin\frac{(n-1)\phi}{2}}{\sin\frac{\phi}{2}}e^{\left \{i\left [\omega t-(n-1)\frac{\phi}{2}\right ] \right \}}
\end{split}
\end{equation*}
点$P$处,合振幅
$$E_P=E_0\frac{\sin\frac{(n-1)\phi}{2}}{\sin\frac{\phi}{2}}\approx E_0\frac{\sin\frac{(n-1)\phi}{2}}{\frac{\phi}{2}}=(n-1)E_0\frac{\sin\frac{(n-1)\phi}{2}}{\frac{(n-1)\phi}{2}} $$
在$n\rightarrow \infty$和$(n-1)\Delta\rightarrow b$情况下,
$$\frac{(n-1)\phi}{2}=\pi (n-1)\Delta\sin \theta /\lambda \rightarrow \pi b\sin \theta /\lambda$$
令$\beta=\pi b\sin \theta /\lambda$,因此有点$P$处的振动为
$$E=(n-1)E_0\frac{\sin \beta}{\beta}\cos(\omega t – \beta)$$
光强
$$I=I_0\frac{\sin^2 \beta}{\beta^2}$$
其中,$I_0$为$\theta=0$处的光强。
夫琅禾费单缝衍射强度分布见下图
极大值与极小值的位置
极小值的位置由下述关系给出
$$\beta=k\pi$$
即
$$b\sin \theta =k\lambda, k=\pm 1,\pm 2,\ldots$$
极大值由以下超越方程的根给出
$$\tan \beta=\beta$$
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讲得很清楚