参考:Sears and Zemansky’s university physics : with modern physics, 13th Ed
我们从自由粒子做个说明。
我们从熟悉的机械波开始谈起。
在弦上传播的一个波的波动方程是这样的
\begin{equation*}
\frac{\partial^2 y(x,t)}{\partial x^2}=\frac{1}{v^2}\frac{\partial^2 y(x,t)}{\partial t^2}
\end{equation*}
方程最简单的解为简谐波:
\begin{equation*}
y(x,t)=A\cos(kx-\omega t)+B\sin(kx-\omega t)
\end{equation*}
其中\[v\] $v$是波速,$k=2\pi/\lambda$为波数,$\omega = 2\pi \nu$为圆频率。于是有
\begin{equation*}
\begin{split}
\frac{\partial^2 y(x,t)}{\partial t^2}&=-\omega^2 y(x,t)\\
\frac{\partial^2 y(x,t)}{\partial x^2}&=-k^2 y(x,t)
\end{split}
\end{equation*}
容易看出来,$y(x,t)$要满足波动方程,必须要求$\omega =v k$。
现在我们看自由粒子的量子力学。
设自由粒子的质量为$m$,粒子能量$E=\frac{p^2}{2m}$,由波粒两象性,$E=h\nu=\hbar \omega,p=h/\lambda =\hbar k$,于是可得$\hbar \omega =\frac{\hbar^2 k^2}{2m}$。
假设粒子的波函数为
\begin{equation*}
\Psi(x,t)=A\cos(kx-\omega t)+B\sin(kx-\omega t)
\end{equation*}
对$x$求二阶导,
\begin{equation*}
\frac{\partial^2 \Psi(x,t)}{\partial x^2}=-k^2 \Psi(x,t)
\end{equation*}
对$t$求一阶导
\begin{equation*}
\frac{\partial \Psi(x,t)}{\partial t}=\omega [A \sin(kx-\omega t)-B \cos(kx-\omega t)]
\end{equation*}
根据前面我们得到的关系,$\hbar\omega =\frac{\hbar^2 k^2}{2m}$,可知波动方程必须是如下形式
\begin{equation*}
-\frac{\hbar^2}{2m}\frac{\partial^2 \Psi(x,t)}{\partial x^2}=C\hbar \frac{\partial \Psi(x,t)}{\partial t}
\end{equation*}
其中$C$为未定参数。把求导带入上式,可得$A=-CB$,$B=CA$,由此可得$C=i$,$B=iA$,所以量子波动方程为
\begin{equation*}
-\frac{\hbar^2}{2m}\frac{\partial^2 \Psi(x,t)}{\partial x^2}=i\hbar \frac{\partial \Psi(x,t)}{\partial t}
\end{equation*}
波函数
\begin{equation*}
\Psi(x,t)=A[\cos(kx-\omega t)+i\sin(kx-\omega t)]=Ae^{i(kx-\omega t)}
\end{equation*}
综上,量子力学必须里必须有复数。
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从这个角度看很酷啊!看来虚数在数学书是一个自然结果,但在物理上依然难以理解啊。
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不明觉厉。有没有普遍证明?
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粒子波函数对t求一阶导笔误了
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多谢指正