参考：Sears and Zemansky's university physics : with modern physics, 13th Ed

我们从自由粒子做个说明。

我们从熟悉的机械波开始谈起。

在弦上传播的一个波的波动方程是这样的

\begin{equation*}
\frac{\partial^2 y(x,t)}{\partial x^2}=\frac{1}{v^2}\frac{\partial^2 y(x,t)}{\partial t^2}
\end{equation*}

方程最简单的解为简谐波：

\begin{equation*}
y(x,t)=A\cos(kx-\omega t)+B\sin(kx-\omega t)
\end{equation*}

其中 $v$是波速，$k=2\pi/\lambda$为波数，$\omega = 2\pi \nu$为圆频率。于是有

\begin{equation*}
\begin{split}
\frac{\partial^2 y(x,t)}{\partial t^2}&=-\omega^2 y(x,t)\\
\frac{\partial^2 y(x,t)}{\partial x^2}&=-k^2 y(x,t)
\end{split}
\end{equation*}

容易看出来，$y(x,t)$要满足波动方程，必须要求$\omega =v k$。

现在我们看自由粒子的量子力学。

设自由粒子的质量为$m$，粒子能量$E=\frac{p^2}{2m}$，由波粒两象性，$E=h\nu=\hbar \omega，p=h/\lambda =\hbar k$，于是可得$\hbar \omega =\frac{\hbar^2 k^2}{2m}$。

假设粒子的波函数为

\begin{equation*}
\Psi(x,t)=A\cos(kx-\omega t)+B\sin(kx-\omega t)
\end{equation*}

对$x$求二阶导，

\begin{equation*}
\frac{\partial^2 \Psi(x,t)}{\partial x^2}=-k^2 \Psi(x,t)
\end{equation*}

对$t$求一阶导

\begin{equation*}
\frac{\partial \Psi(x,t)}{\partial t}=\omega [A \sin(kx-\omega t)-B \cos(kx-\omega t)]
\end{equation*}

根据前面我们得到的关系，$\hbar\omega =\frac{\hbar^2 k^2}{2m}$，可知波动方程必须是如下形式

\begin{equation*}
-\frac{\hbar^2}{2m}\frac{\partial^2 \Psi(x,t)}{\partial x^2}=C\hbar \frac{\partial \Psi(x,t)}{\partial t}
\end{equation*}

其中$C$为未定参数。把求导带入上式，可得$A=-CB$，$B=CA$，由此可得$C=i$，$B=iA$，所以量子波动方程为

\begin{equation*}
-\frac{\hbar^2}{2m}\frac{\partial^2 \Psi(x,t)}{\partial x^2}=i\hbar \frac{\partial \Psi(x,t)}{\partial t}
\end{equation*}

波函数

\begin{equation*}
\Psi(x,t)=A[\cos(kx-\omega t)+i\sin(kx-\omega t)]=Ae^{i(kx-\omega t)}
\end{equation*}

综上，量子力学必须里必须有复数。